题目内容
【题目】已知函数
，求证：
（1）
在区间
存在唯一极大值点；
（2）在
上有且仅有2个零点.
【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析
【解析】
（1）首先求出函数的导数
，设
，对
求导，说明其单调性，再根据零点存在性定理可得在
有唯一零点，从而得证；
（2）结合（1）的单调性利用零点存在性定理证明
上有两个零点，当
时无零点.
解：（1）因为
，所以
，
设，则
，则当
时，
，
所以即在单调递减，
又
，
，且图像是不间断的，
由零点存在性定理可得在有唯一零点，设为
.
则当
时，
；当
时，
.
所以
在
单调递增，在
单调递减，
故在存在唯一极大值点.
（2）因为，所以，
设，则，则当
时，，
所以即在单调递减，
由（1）知，在单调递增，在单调递减.
又
，
，所以
，
又的图像是不间断的，所以存在
，使得
；
又当
时，
，所以在
递减，
因
，又
，又的图像是不间断的，
所以存在
，使得
；
当时，
，
，所以
，从而在
没有零点.
综上，有且仅有2个零点.
练习册系列答案
相关题目
【题目】某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如下表所示：
喜欢甜品 | 不喜欢甜品 | 合计 | |
南方学生 | 60 | 20 | 80 |
北方学生 | 10 | 10 | 20 |
合计 | 70 | 30 | 100 |
（1）根据表中数据，问是否有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”；
（2）已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品.现在从这5名学生中随机抽取3人，求至多有1人喜欢甜品的概率.
