Question

18．求函数y=12$\sqrt{19-x}$+5$\sqrt{x-10}$的最大值．

Answer 1

分析 求出函数的定义域，利用三角换元法进行转化，利用辅助角公式结合两角和差的正弦公式进行求解即可．

解答 解：由$\left\{\begin{array}{l}{19-x≥0}\\{x-10≥0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x≤19}\\{x≥10}\end{array}\right.$．即10≤x≤19，
∵19-x+x-10=9，
∴$\frac{19-x}{9}$+$\frac{x-10}{9}$=1，
设$\frac{19-x}{9}$=sin²θ，则$\frac{x-10}{9}$=cos²θ，0≤θ≤$\frac{π}{2}$，
则19-x=9sin²θ，x-10=9cos²θ，
则y=12$\sqrt{19-x}$+5$\sqrt{x-10}$=12$\sqrt{9sin^2θ}$+5$\sqrt{9cos^2θ}$=3×12sinθ+3×5cosθ
=39（$\frac{12}{13}$sinθ+$\frac{5}{13}$cosθ），
令cosα=$\frac{12}{13}$，则sinα=$\frac{5}{13}$，
则函数等价为y=39（sinθcosα+cosθsinα）=39sin（θ+α），
∴当sin（θ+α）=1时，函数取得最大值此时为39．

点评 本题主要考查函数最值的求解，利用换元法结合三角函数的辅助角公式以及两角和差的正弦公式进行化简是解决本题的关键．