Question

已知ABCD-A₁B₁C₁D₁是底面边长为1的正四棱柱，O₁为A₁C₁与B₁D₁的交点．
（1）设AB₁与底面A₁B₁C₁D₁所成角的大小为α，二面角A-B₁D₁-A₁的大小为β．求证：tanβ=

2

tanα；
（2）若点C到平面AB₁D₁的距离为

4

3

，求正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的高．

Answer 1

分析：（1）此题由题意画出图形因为ABCD-A₁B₁C₁D₁是底面边长为1的正四棱柱，O₁为A₁C₁与B₁D₁的交点，且设AB₁与底面A₁B₁C₁D₁所成角的大小为α，二面角A-B₁D₁-A₁的大小为β，所以应先利用线面角及二面角的定义求出α，β，即可得证；
（2）由图形借助面面垂直找到点C在平面AB₁D₁的位置，利用三角形的相似解出．

解答：解：（1）由题意画出图形为：

∵ABCD-A₁B₁C₁D₁是底面边长为1的正四棱柱，
∴底面为正方形且边长为1，又因为AB₁与底面A₁B₁C₁D₁所成角的大小为α，∴∠AB1A1=α  ，tanα=

AA1

A1B1

，
又因为二面角A-B₁D₁-A₁的大小为β，且底面边长为1的正四棱柱，O₁为A₁C₁与B₁D₁的交点，∴∠AO₁A₁=β，∴

2

tanβ=

AA1

A1O1

 
而底面A₁B₁C₁D₁为边长为1的正方形，∴A1B1= 

2

A1O1，∴tanβ=

2

tanα．
（2）∵O₁为B₁D₁的中点，而△AB₁D₁是以B₁D₁为底边的等腰三角形，∴AO₁⊥B₁D₁∴B₁D₁⊥平面ACC₁A₁∴平面AB₁D₁⊥平面ACC₁A₁
且交线为AO₁，∴点C到平面AB₁D₁的投影点必落在A0₁上即垂足H，在矩形AA₁C₁C中，利用R_t△AA₁O₁∽R_t△CHA 得到

A1O1

AA1

=

AH

CH

，而AH=

AC2-CH2

=

2-( 4 3 )2

，∴

A1O1

AA1

=

AH

CH

?

2 2

AA1

=

2 3

4 3

?AA₁=2，
故正四棱锥的高为AA₁=2．

点评：此题重点考查了线面角，二面角，点到面的距离这些定义，还考查了学生的空间想象能力及计算能力．