Question

（1）求f（x）的解析式．
（2）当a＜0时，求f（x）图象的对称中心．
（3）当a＞0时，指出函数f（x）图象怎样由y=2sinx图象变换而来．（不画图、只需说明变换步骤）

Answer 1

【答案】分析：（1）先根据三角公式对解析式进行化简整理，再结合∈[0，]，上的值域为[0，3]，求出a，b即可得到f（x）的解析式．
（2）直接利用上面的结论，再结合正弦函数对称中心的求法即可得到f（x）图象的对称中心．
（3）直接利用函数图象的平移规律以及伸缩变换规律即可得到结论．
解答：解：（1）因为f（x）=2asin（2x+）-4acos²x+3a+b
=2a[sin（2x+）-cos2x）+a+b
=2asin（2x-）+a+b．
因为x∈[0，]，
∴2x-∈[-，]．∴sin（2x-）∈[-，1]．
当a＞0时，由⇒⇒f（x）=2sin（2x-）+1．
当a＜0时，由⇒⇒f（x）=-2sin（2x-）+2．
（2）因为a＜o时，f（x）=-2sin（2x-）+2．
令2x-=kπ⇒x=+．k∈Z．
所以f（x）图象的对称中心：（k∈Z）
（3）因为a＞0时，f（x）=2sin（2x-）+1，
把y=2sinx的图象相右平移个单位得到：y=2sin（x-），再各点纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍得到：y=2sin（2x-），再整体向上平移1个单位即可得到：y=2sin（2x-）+1．
点评：本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．平移变换时注意都是对单个的x或y来运作的．