Question

已知在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=4，AD=2，AA₁=3，M，N分别是棱BB₁，BC上的点，且BM=2，BN=1，建立如图所示的空间直角坐标系．求：
（1）异面直线DM与AN所成角的余弦值；
（2）直线DM与平面AMN所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）确定

DM

=(-2，4，2)，

AN

=(1，4，0)，利用向量的夹角公式，即可求异面直线DM与AN所成角的余弦值；
（2）求出平面AMN的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求直线DM与平面AMN所成角的正弦值．

解答：解：由题意知，D（2，0，0），B（0，4，0），A₁（0，0，3），M（0，4，2），N（1，4，0），
（1）

DM

=(-2，4，2)，

AN

=(1，4，0)，
∴cos?

DM

，

AN

＞=

DM • AN

| DM || AN |

=

-2×1+4×4+2×0

2 6 × 17

=

7 102

102

，…（5分）
∴异面直线DM与AN所成角的余弦值为

7 102

102

．       …（7分）
（2）

AM

=(0，4，2)，

AN

=(1，4，0)，
设平面AMN的法向量为

m

=（x，y，z），
则

m • AM =0 m • AN =0

，即

4y+2z=0 x+4y=0

，解得

x=-4y z=-2y

，
不妨取x=4，则y=-1，z=2，故平面AMN的一个法向量为

m

=（4，-1，2），（10分）
则cos＜

DM

，

m

＞=

DM • m

| DM || m |

=

-2×4+4×(-1)+2×2

2 6 × 21

=-

2 14

21

，…（12分）
根据图形可知，直线DM与平面AMN所成角的正弦值为

2 14

21

． …（14分）

点评：本题考查向量知识的运用，考查空间角，考查学生的计算能力，正确运用向量的夹角公式是关键．