Question

已知在长方体ABCD-A′B′C′D′中，点E为棱CC′上任意一点，AB=BC=2，CC′=1．
（Ⅰ）求证：平面ACC′A′⊥平面BDE；
（Ⅱ）若点P为棱C′D′的中点，点E为棱CC′的中点，求二面角P-BD-E的余弦值．

Answer 1

分析：（I）根据正方形的性质得到AC⊥BD，由CC'⊥平面ABCD得到BD⊥CC'，从而证出BD⊥平面ACC'A'，再根据面面垂直判定定理，即可得到平面ACC′A′⊥平面BDE；
（II）建立如图所示空间直角坐标系，可得B、D、E、P各点的坐标，从而得出

DB

、

DE

、

DP

的坐标，利用垂直向量数量积为零的方法，建立方程组解出

m

=(1，-1，4)是平面BDE的一个法向量，

n

=(1，-1，1)是平面PBD的一个法向量，根据空间向量的夹角公式加以计算，即可得到二面角P-BD-E的余弦值．

解答：解：（Ⅰ）∵四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD，
∵CC'⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，∴BD⊥CC'．
又∵CC'∩AC=C，∴BD⊥平面ACC'A'．
∵BD?平面BDE，
∴平面BDE⊥平面ACC'A'，即平面ACC′A′⊥平面BDE；
（Ⅱ）建立分别以DA、DC、DD'为x轴、y轴和z轴，建立空间直角坐标系，如图所示．
可得D（0，0，0），B（2，2，0），E（0，2，

1

2

），P（0，1，1）．
设平面BDE的一个法向量为

m

=(x，y，z)，
∵

DB

=(2，2，0)，

DE

=(0，2，

1

2

)，
∴

m • DB =2x+2y=0 m • DE =2y+ 1 2 z=0

，取x=1，得y=-1且z=4．
可得

m

=(1，-1，4)；
设平面PBD的一个法向量为

n

=(m，n，p)，
∵

DP

=(0，1，1)，∴

n • DB =2m+2n=0 n • DP =n+p=0

取m=1，得n=-1且p=1，可得

n

=(1，-1，1)．
∵cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m |•| n |

=

6

3

，且二面角P-BD-E是锐二面角，
∴二面角P-BD-E的余弦值为

6

3

．

点评：本题在特殊的长方体中证明线面垂直、面面垂直，并求二面角的余弦之值．着重考查了长方体的性质、空间垂直位置关系的判断与证明、利用空间向量研究平面与平面所成角的大小等知识，属于中档题．