Question

已知函数f（x）=cos（ω•x-θ）（其中ω＞0，θ∈[0，π]）是奇函数，又函数f（x）的图象关于直线x=

π

12

对称，且在区间（0，

π

12

）内函数f（x）没有零点．
（1）求θ和ω的值；
（2）函数f（x）图象是中心对称图形，请写出所有对称中心的坐标；
（3）求函数f（x）的单调递增区间．

Answer 1

分析：（1）由f（x）=cos（ω•x-θ）是奇函数，可得f（0）=cosθ=0，又θ∈[0，π]，可求得θ，由

π

12

=

T

4

，T=

π

3

=

2π

T

可求得ω；
（2）由（1）可得，f（x）=cos（6x-

π

2

），由f（x）=0即可求得其对称中心；
（3）f（x）=cos（6x-

π

2

）=sin6x，由2kπ-

π

2

≤6x≤2kπ+

π

2

可求得函数f（x）的单调递增区间．

解答：解：（1）∵函数f（x）=cos（ω•x-θ）是奇函数，
∴cosθ=0，又θ∈[0，π]），则θ=

π

2

…2．
奇函数f（x）的图象关于直线x=

π

12

对称，且在区间（0，

π

12

）内函数f（x）没有零点，
则

π

12

=

T

4

，T=

π

3

，
∴ω=

2π

T

=6…6
（2）函数f（x）=cos（6x-

π

2

），由f（x）=0得6x-

π

2

=kπ-

π

2

…7
∴x=

kπ

6

（k∈Z）．函数f（x）图象的对称中心是（

kπ

6

，0），其中k∈Z…9
（3）f（x）=cos（6x-

π

2

）=sin6x，
∴由2kπ-

π

2

≤6x≤2kπ+

π

2

得：

kπ

3

-

π

12

≤x≤

kπ

3

+

π

12

（k∈Z）…11
∴函数f（x）的单调递增区间是[

kπ

3

-

π

12

，

kπ

3

+

π

12

]（k∈Z）…12

点评：本题考查余弦函数的单调性与奇偶性，θ和ω的值的确定是关键，也是难点所在，考查综合分析与转化运用的能力，属于中档题．