Question

19．已知函数f（x）=lnx，h（x）=ax（a∈R）．
（1）求函数y=-af（x）-h（x）+x²+2x的单调区间：
（2）是否存在实数m，使得对任意的$x∈（{\frac{1}{2}，+∞}）$，都有函数$y=f（x）+\frac{m}{x}$的图象在$g（x）=\frac{e^x}{x}$的图象的下方？若存在，请求出整数m的最大值；若不存在，请说理由：（参考数据：$ln2=0.6931，\sqrt{e}=1.6487，\root{3}{e}=1.3956$）

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；
（2）问题转化为m＜e^x-xlnx对$x∈（{\frac{1}{2}，+∞}）$恒成立，令r（x）=e^x-xlnx，根据函数的单调性求出r（x）的最小值，从而求出m的范围即可．

解答 解：（1）函数f（x）的定义域是（0，+∞），
$y'=2x-（{a-2}）-\frac{a}{x}=\frac{{2{x^2}-（{a-2}）x-a}}{x}=\frac{{（{x+1}）（{2x-a}）}}{x}$．
当a≤0时，f'（x）＞0对任意x∈（0，+∞）恒成立，
所以，函数f（x）在区间（0，+∞）单调递增；
当a＞0时，由f'（x）＞0得$x＞\frac{a}{2}$，由f'（x）＜0得$0＜x＜\frac{a}{2}$，
所以，函数在区间$（{\frac{2}{2}，+∞}）$上单调递增，在区间$（{0，\frac{a}{2}}）$上单调递减．
（2）假设存在实数m满足题意，则不等式$lnx+\frac{m}{x}＜\frac{e^x}{x}$对$x∈（{\frac{1}{2}，+∞}）$恒成立
即m＜e^x-xlnx对$x∈（{\frac{1}{2}，+∞}）$恒成立，
令r（x）=e^x-xlnx，则r'（x）=e^x-lnx-1，
令φ（x）=e^x-lnx-1，则$φ'（x）={e^x}-\frac{1}{x}$，
∵φ'（x）在$（{\frac{1}{2}，+∞}）$上单调递增，$φ'（{\frac{1}{2}}）={e^{\frac{1}{2}}}-2＜0，φ'（1）=e-1＞0$，
且φ'（x）的图象在$（{\frac{1}{2}，1}）$上连续，
∴存在${x_0}∈（{\frac{1}{2}，1}）$，使得φ'（x₀）=0，即${e^{x_0}}-\frac{1}{x_0}=0$，则x₀=-lnx₀，
∴当$x∈（{\frac{1}{2}，{x_0}}）$时，φ（x）单调递减；
当x∈（x₀，+∞）时，φ（x）单调递增，
则φ（x）取到最小值$φ（{x_0}）={e^{x_0}}-ln{x_0}-1={x_0}+\frac{1}{x_0}-1≥2\sqrt{{x_0}•\frac{1}{x_0}}-1=1＞0$，
∴r'（x）＞0，即r（x）在区间$（{\frac{1}{2}，+∞}）$内单调递增，
$m≤r（{\frac{1}{2}}）={e^{\frac{1}{2}}}-\frac{1}{2}ln\frac{1}{2}={e^{\frac{1}{2}}}+\frac{1}{2}ln2=1.99525$，
∴存在实数m满足题意，且最大整数m的值为1．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道综合题．