Question

【题目】若函数恰有两个不同极值点.

（1）求的取值范围；

（2）求证：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析.

【解析】

（1）利用转化思想将已知转化为方程有两个不同的实根，令，利用导数分析其单调性与图形的大致走势，最后利用数形结合求得答案；

（2）由题是方程的两个不同的根，不妨设，利用分析法欲证只需证明成立，令，构造函数证得即可.

（1）由函数，可得，且定义域为，

因为函数恰有两个不同极值点，等价于是方程的两个不同的根，即方程有两个不同的实根，

令，则，显然当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，

所以，

又因为当时，，所以

故的取值范围为.

（2）由（1）可知是方程的两个不同的根，即，

不妨设，则

欲证，只需证，即证，即证，即证，

令，构造函数，则在时恒成立，所以函数单调递增，即

所以，故成立，

所以成立.