Question

如图，已知二次函数，直线，直线（其中，为常数）；.若直线的图象以及的图象所围成的封闭图形如阴影所示.

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）求阴影面积s关于t的函数的解析式；

（Ⅲ）若过点可作曲线的三条切线，求实数m的取值范围.

Answer 1

（1）（2） ，   

（3）所求的实数m的取值范围是

解析:

（I）由图可知二次函数的图象过点（0，0），（1，0）

则，又因为图象过点（2，6）∴6=2a ∴a=3

∴函数的解析式为  ………3分

（Ⅱ）由得

∵，∴直线与的图象的交点横坐标分别为0,1+t ,

 ……………5分

由定积分的几何意义知：

 ，              ……………8分

（III）∵曲线方程为，，∴，

∴点不在曲线上。设切点为，则点M的坐标满足

,因，故切线的斜率为

，整理得.

∵过点可作曲线的三条切线，

∴关于x₀方程有三个实根.             ……………12分

设，则，由得

∵当∴在上单调递增，

∵当，∴在上单调递减.

∴函数的极值点为，

∴关于x₀方程有三个实根的充要条件是，

解得，故所求的实数m的取值范围是。     ………15分