Question

5．求形如函数y=f（x）^g（x）（f（x）＞0）的导数的方法可以为：先两边同取自然对数lny=g（x）lnf（x），再两边同时求导得到$\frac{1}{y}•{y^'}={g^'}（x）lnf（x）+g（x）•\frac{1}{f（x）}•{f^'}（x）$，于是得到y′，试用此法求的函数$y={x^{x^2}}$（x＞0）的一个单调递增区间是（　　）

• A． （e，4）
• B． $（\frac{1}{{\sqrt{e}}}，+∞）$
• C． （0，e）
• D． $（0，\frac{1}{{\sqrt{e}}}）$

Answer 1

分析 根据定义，先求原函数的导数，令导数大于0，解不等式即可．

解答 解：由题意得：
y′=f（x）^g（x）[g′（x）lnf（x）+g（x）•$\frac{1}{f（x）}$•f′（x）]
=${x}^{{x}^{2}}$（2xlnx+x²•$\frac{1}{x}$）
=${x}^{{x}^{2}}$（2xlnx+x），
令y′＞0，解得：x＞$\frac{1}{\sqrt{e}}$，
故选：B．

点评 本题考查函数的单调性，要求首先读懂定义，并熟练掌握导数运算，同时要注意函数的定义域．属简单题．