题目内容

已知数列{a_n}，首项a ₁=3且2a _n=S _n•S _n-1 （n≥2）．
（1）求证：{ $数学公式$ }是等差数列，并求公差；
（2）求{a _n }的通项公式；
（3）数列{a_n}中是否存在自然数k₀，使得当自然数k≥k₀时使不等式a_k＞a_k+1对任意大于等于k的自然数都成立，若存在求出最小的k值，否则请说明理由．

解：（1）．由已知当n≥2时2a_n=S_n•S_n-1得：2（S_n-S_n-1）=S_n•S_n-1（n≥2）? $\text{[math]}$ （n≥2）? $\text{[math]}$ 是以 $\text{[math]}$ 为首项，公差d=- $\text{[math]}$ 的等差数列．
（2）．∵ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$
从而 $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$
（3）. $\text{[math]}$
分析：（1）由已知中2a _n=S _n•S _n-1，我们易可2（S_n-S_n-1）=S_n•S_n-1，两这同除S_n•S_n-1后，即可得到 $\text{[math]}$ （n≥2），即数列{ $\text{[math]}$ }是以 $\text{[math]}$ 为公差等差数列，再由首项a ₁=3，代入求出数列{ $\text{[math]}$ }的首项，即可得到数列{ $\text{[math]}$ }的通项公式；
（2）由（1）的结论，结合2a _n=S _n•S _n-1，我们可以得到n≥2时，{a _n }的通项公式，结合首项a ₁=3，我们可以得到{a _n }的通项公式；
（3）令a_k＞a_k+1解不等式我们可以求出满足条件的取值范围，再根据k∈N，即可得到满足条件的k值．
点评：本题考查的知识点是等差关系的确定，数列的函数特性，数列的递推公式．要判断一个数列是否为等差数列最常用的办法就是根据定义，判断a_n-a_n-1是否为一个常数．