Question

已知数列{a_n}是首项a1=

1

3 3

，公比q=

1

3 3

的等比数列，设b_n+15log₃a_n=t，常数t∈N^*，数列{c_n}满足c_n=a_nb_n．
（1）求证：{b_n}是等差数列；
（2）若{c_n}是递减数列，求t的最小值；
（3）是否存在正整数k，使c_k，c_k+1，c_k+2重新排列后成等比数列？若存在，求k，t的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）由题意知，an=(

1

3 3

)n，再由bn+1-bn=-15log3(

an+1

an

)=5，得b₁=-15log₃a₁+t=t+5，由此能够证明{b_n}是等差数列．
（2）由b_n=5n+t，知cn=(5n+t)(

1

3 3

)n，cn+1-cn=(

5n+5+t

3 3

-5n-t)(

1

3 3

)n＜0恒成立，再由f(n)=-5n+

5

3 3 -1

是递减函数，知当n=1时取最大值，f(n)max=-5+

5

3 3 -1

≈6.3，由此能求出t的最小值．
（3）记5k+t=x，ck=(5k+t)(

1

3 3

)k=x(

1

3 3

)k，ck+1=(5k+5+t)(

1

3 3

)k+1=(x+5)(

1

3 3

)k+1，ck+2=(5k+10+t)(

1

3 3

)k+2=(x+10)(

1

3 3

)k+2，再分情况讨论进行求解．

解答：解：（1）由题意知，an=(

1

3 3

)n，（1分）
因为bn+1-bn=-15log3(

an+1

an

)=5，b₁=-15log₃a₁+t=t+5
∴数列b_n是首项为b₁=t+5，公差d=5的等差数列．（4分）
（2）由（1）知，b_n=5n+t，cn=(5n+t)(

1

3 3

)n，cn+1-cn=(

5n+5+t

3 3

-5n-t)(

1

3 3

)n＜0恒成立，即t＞-5n+

5

3 3 -1

恒成立，（7分）
因为f(n)=-5n+

5

3 3 -1

是递减函数，
所以，当n=1时取最大值，f(n)max=-5+

5

3 3 -1

≈6.3，（9分）
因而t＞6.3，因为t∈N，所以t=7．（10分）
（3）记5k+t=x，ck=(5k+t)(

1

3 3

)k=x(

1

3 3

)k，ck+1=(5k+5+t)(

1

3 3

)k+1=(x+5)(

1

3 3

)k+1，ck+2=(5k+10+t)(

1

3 3

)k+2=(x+10)(

1

3 3

)k+2．
①若c_k是等比中项，则由c_k+1•c_k+2=c_k²得(x+5)(

1

3 3

)k+1•(x+10)(

1

3 3

)k+2=x2(

1

3 3

)2k化简得2x²-15x-50=0，解得x=10或x=-

5

2

（舍），（11分）
所以5n+t=10，因而

k=1 t=5

及

k=2 t=0

．
又由常数t∈N^*，则

k=2 t=0

舍去，
②若c_k+1是等比中项，则由c_k•c_k+2=c_k+1²得x(

1

3 3

)k•(x+10)(

1

3 3

)k+2=(x+5)2(

1

3 3

)2k+2
化简得x（x+10）=（x+5）²，显然不成立．（16分）
③若c_k+2是等比中项，则由c_k•c_k+1=c_k+2²得x(

1

3 3

)k•(x+5)(

1

3 3

)k+1=(x+10)2(

1

3 3

)2k+4
化简得2x²-5x-100=0，因为△=5²+4×2×100=25×33不是完全不方数，因而x的值是无理数，显然不成立．
则符合条件的k、t的值为

k=1 t=5

．（18分）

点评：本题考查等差数列的证明方法、以递减数列为载体求参数的最小值和利用分类讨论思想在等比数列中的运用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件．