Question

17．已知双曲线${x^2}-\frac{y^2}{m}=1$与抛物线y²=8x的一个交点为P，F为抛物线的交点，若|PF|=5，则双曲线的离心率为（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． 4
• C． $\sqrt{3}$
• D． 2

Answer 1

分析 根据题意，设P的坐标为（x₀，y₀），由|PF|=5结合抛物线的性质分析可得x₀=3，代入抛物线的方程可得y₀的值，即可得P的坐标，将P的坐标代入双曲线的方程，计算可得m的值，即可得双曲线的标准方程，由双曲线离心率公式计算可得答案．

解答 解：根据题意，双曲线${x^2}-\frac{y^2}{m}=1$与抛物线y²=8x的一个交点为P，设P的坐标为（x₀，y₀）
抛物线的方程为y²=8x，
其准线为x=-2，
若|PF|=5，则P到准线x=-2的距离为5，则x₀=3，
则有n²=3×8，解可得y₀=±2$\sqrt{6}$，
即P（3，±2$\sqrt{6}$），
又由P在双曲线上，则有9-$\frac{24}{m}$=1，解可得m=3，
则双曲线的方程为：x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，
其中a=1，b=$\sqrt{3}$，则c=$\sqrt{1+3}$=2，
其离心率e=$\frac{c}{a}$=2；
故选：D．

点评 本题考查抛物线、双曲线的几何性质，关键是求出P的坐标．