Question

已知函数f（x）=mx+3，g（x）=x²+2x+m，G（x）=f（x）-g（x）．
（1）求证：函数G（x）必有零点；
（2）若m=6，试作出函数|G（x）|的简图，并写出它的单调区间；
（3）若函数|G（x）|在[-1，0]上是减函数，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：函数零点的判定定理,函数的图象

专题：计算题,作图题,函数的性质及应用

分析：（1）化简f（x）-g（x）并令其为零，判断△，从而求证函数G（x）必有零点；
（2）化简|G（x）|=|-x²+4x-3|=|（x-2）²-1|，从而做简图，由图写出单调区间；
（3）G（x）=f（x）-g（x）-1=-x²+（m-2）x+3-m，讨论对称轴从而确定单调性．

解答： （1）证明：∵f（x）-g（x）=-x²+（m-2）x+3-m，令f（x）-g（x）=0，则
∴△=（m-2²+4（3-m）=m²-8m+16=（m-4）²≥0，
∴方程f（x）-g（x）=0有实数根，∴函数G（x）=f（x）-g（x）必有零点．
（2）∵m=6，∴|G（x）|=|-x²+4x-3|=|（x-2）²-1|，
令G（x）=0，则x=3或1，
作出y=|G（x）|简图如右图所示．

由图可知，单调增区间为：（1，2），（3，+∞）；
减区间为：（-∞，1），（2，3）．
（3）∵G（x）=f（x）-g（x）-1=-x²+（m-2）x+3-m，
令G（x）=0，则x=1或m-3．
①若m=4，则G（x）=-（x-1）²
∴|G（x）|=（x-1）²在[-1，0]上是减函数，成立．
②若m＞4，则m-3＞1
|G（x）|=|x²-（m-2）x+m-3|=|（x-1）（x+3-m）|在（-∞，1）上是减函数
∴|G（x）|在[-1，0]上是减函数，成立．
③若m＜4，则m-3＜1
|G（x）|=|x²-（m-2）x+m-3|=|（x-1）（x+3-m）|在（-∞，m-3），（

m-2

2

，1）上是减函数，
∴m-3≥0或

m-2

2

≤-1，∴m≥3或m≤0，
又m＜4，∴3≤m＜4或m≤0．
综上，|G（x）|在[-1，0]上是减函数时，m的取值范围是m≤0或m≥3．

点评：本题考查了学生的作图能力及函数的零点的判断，属于基础题．