Question

已知函数f（x）=ax²+bx+clnx（a、b、c∈R）．
（1）当a=-1，b=2，c=0时，求曲线y=f（x）在点（2，0）处的切线方程；
（2）当a=1，b=0，c=-e时，求函数f（x）的极值．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：（1）把当a=-1，b=2，c=0代入函数解析式，求得函数的导函数，得到函数在x=2时的导数，然后由直线方程的点斜式得答案；
（2）把a=1，b=0，c=-e代入函数解析式，求出导函数的零点，由导函数的零点对定义域分段，求得极值点，得到函数的极值．

解答： 解：（1）当a=-1，b=2，c=0时，f（x）=-x²+2，
则f′（x）=-2x+2，f′（2）=-2，
∴所求的切线方程为y=-2（x-2），即2x+y-4=0；
（2）当a=1，b=0，c=-e时，f（x）=x²-elnx，f′(x)=2x-

e

x

=

2x2-e

x

，
令f′（x）=0，得x=

e 2

，
列表：

x	(0， e 2 )	e 2	( e 2 ，+∞)
f′（x）	-	0	+
f（x）	↘	极小值	↑

∴f（x）有极小值f(

e 2

)=

e

2

-

e

2

ln

e

2

=

e

2

ln2．

点评：本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数求函数的最值，是中档题．