题目内容
如图，正三棱柱ABC-A1B1C1中，E是AC中点．（1）求证：平面BEC1⊥平面ACC1A1；
（2）若
| A1A |
| AB |
| ||
| 2 |
分析：（1）先证明BE⊥平面ACC1A1，再利用面面垂直的判定定理，可证平面BEC1⊥平面ACC1A1；
（2）作出二面角E-BC1-C的平面角，再利用三角函数，即可求得结论．
（2）作出二面角E-BC1-C的平面角，再利用三角函数，即可求得结论．
解答：（1）证明：∵正三棱柱ABC-A1B1C1中，E是AC中点，∴BE⊥AC
∵侧棱AA1⊥底面ABC，∴AA1⊥BE
∵AA1∩AC=A，∴BE⊥平面ACC1A1，
∵BE?平面BEC1，∴平面BEC1⊥平面ACC1A1；
（2）解：过点C作CH⊥C1E于点H，则CH⊥平面BEC1，
过H作HG⊥BC1于G，连接CG，由三垂线定理得CG⊥BC1，故∠CGH为二面角E-BC1-C的平面角
∵
=
，∴当AA1=2a时，AB=2
a时，∴C1E=
a，∴CH=
=
∵BC1=2
a，∴CG=
=
∴在直角△CGH中，sin∠CGH=
=
根据图形可得，二面角E-BC1-C的平面角为45°
∵侧棱AA1⊥底面ABC，∴AA1⊥BE
∵AA1∩AC=A，∴BE⊥平面ACC1A1，
∵BE?平面BEC1，∴平面BEC1⊥平面ACC1A1；
（2）解：过点C作CH⊥C1E于点H，则CH⊥平面BEC1，
过H作HG⊥BC1于G，连接CG，由三垂线定理得CG⊥BC1，故∠CGH为二面角E-BC1-C的平面角
∵
| A1A |
| AB |
| ||
| 2 |
| 2 |
| 6 |
| ||
|
| 2a | ||
|
∵BC1=2
| 3 |
2
| ||
2
|
2
| ||
|
∴在直角△CGH中，sin∠CGH=
| CH |
| CG |
| ||
| 2 |
根据图形可得，二面角E-BC1-C的平面角为45°
点评：本题考查面面垂直，考查面面角，考查学生分析解决问题的能力，正确作出面面角是关键．
练习册系列答案
名校课堂系列答案
相关题目
如图，正三棱柱ABC-A1B1C1各棱长都等于a，E是BB1的中点．
如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都2，E，F分别是AB，A1C1的中点，则EF的长是（ ）| A、2 | ||
B、
| ||
C、
| ||
D、
|
如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1中点．
（2013•郑州二模）如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1中点．
如图，正三棱柱ABC-A1B1C1中（注：底面为正三角形且侧棱与底面垂直），BC=CC1=2，P，Q分别为BB1，CC1的中点．