Question

设直线l：y=x+1与椭圆相交于A、B两个不同的点，与x轴相交于点F．
（Ⅰ）证明：a²+b²＞1；
（Ⅱ）若F是椭圆的一个焦点，且，求椭圆的方程．

Answer 1

【答案】分析：（I）将直线方程代入椭圆方程消去x，利用判别式大于0求得a和b不等式关系，原式得证．
（II）设出A，B的坐标，利用韦达定理表示出y₁+y₂和y₁y₂，根据求得y₁和y₂的关系式，进而联立y₁+y₂和y₁y₂的表达式求得a和b的关系式，直线L的方程求得F的坐标，进而求得椭圆方程中的c，最后联立求得a和b，则椭圆的方程可得．
解答：证明：（Ⅰ）将y=x+1代入，消去x，得（a²+b²）y²-2b²y+b²（1-a²）=0①
由直线l与椭圆相交于两个不同的点，得△=4b⁴-4b²（a²+b²）（1-a²）=4a²b²（a²+b²-1）＞0
所以a²+b²＞1．
（Ⅱ）解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由①，得
因为，得y₁=-2y₂
所以，
消去y₂，得
化简，得（a²+b²）（a²-1）=8b²
若F是椭圆的一个焦点，则c=1，b²=a²-1，
代入上式，解得，
所以，椭圆的方程为：．
点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．解决此类题要充分发挥判别式和韦达定理在解题中的作用．灵活应用数形结合的思想、函数思想、等价转化思想、分类讨论思想解题．