Question

（2008•宝坻区一模）设直线l：y=x+1与椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）相交于A、B两个不同的点，与x轴相交于点F．
（1）证明：a²+b²＞1；
（2）若F是椭圆的一个焦点，且以AB为直径的圆过原点，求a²．

Answer 1

分析：（1）把直线l的方程与椭圆方程联立，利用△＞0即可得出；
（2）以AB为直径的圆过原点?OA⊥OB?x₁x₂+y₁y₂=0，再利用根与系数的关系，即可得出．

解答：解：（1）∵直线l与椭圆相交，联立方程

y=x+1 b2x2+a2y2=a2b2

∴（a²+b²）x²+2a²x+a²-a²b²=0，

∵△=4a4-4(a2+b2)a2(1-b2)＞0 ∴a2-(a2+b2)(1-b2)＞0

∴b²（a²+b²）＞b²
∴a²+b²＞1，
（2）设F（-c，0），c²=a²-b²依题意c=1，则a²-b²=1，
设交点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由（1）知：△＞0得

x1+x2= -2a2 a2+b2 x1x2= a2(1-b2) a2+b2

，
以AB为直径的圆过原点，则OA⊥OB，从而x₁x₂+y₁y₂=0
即2x₁x₂+（x₁+x₂）+1=0，
把韦达定理式代入

2a2(1-b2)

a2+b2

-

2a2

a2+b2

=-1
因a2＞1解得：a2=1+

2

2

．

点评：直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到△＞0及其根与系数的关系、向量垂直与数量积的关系、圆的性质等是解题的关键．