Question

已知点A（-1，0）、B（1，0）和动点P满足：∠APB=2θ，且存在正常数m，使得|PA|•|PB|cos²θ=m．
（I）求动点P的轨迹C的方程；
（II）设直线l：y=x+1与曲线C相交于两点E、F，且与y轴的交点为D．若

DE

=(2+

3

)

DF

，求m的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）在△PAB中，由余弦定理得|AB|²=|PA|²+|PB|²-2|PA|•|PB|cos2θ，由此推导出动点P的轨迹为以A，B为两焦点的椭圆，从而求出动点P的轨迹C的方程．
（Ⅱ）由

y=x+1 x2 1+m + y2 m =1

，得（2m+1）x²+2（m+1）x+（1-m²）=0，设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），由题设条件知D（0，1），由此入手能够求出m．

解答：解：（Ⅰ）在△PAB中，由余弦定理得|AB|²=|PA|²+|PB|²-2|PA|•|PB|cos2θ，
∵|AB|=2，|PA|•|PB|cos²θ=m，
∴4=（|PA|+|PB|）²-2|PA|•|PB|（1+cos2θ）=（|PA|+|PB|）²-4m，
∴|PA|+|PB|=2

1+m

＞2=|AB|，
即动点P的轨迹为以A，B为两焦点的椭圆，
∴动点P的轨迹C的方程为

x2

1+m

+

y2

m

=1．
（Ⅱ）由

y=x+1 x2 1+m + y2 m =1

，得（2m+1）x²+2（m+1）x+（1-m²）=0，（*）
设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），由题设条件知D（0，1），
则x1+x2=

-2(m+1)

2m+1

，①
 x1•x2=

1-m2

2m+1

，②
∵

DE

=(2+

3

)

DF

，∴（x₁，y₁-1）=（2+

3

）（x₂，y₂-1），
∴x1=(2+

3

)x2，③
 将③代入①，②得

(3+ 3 )x2= -2(m+1) 2m+1 (2+ 3 )x22= 1-m2 2m+1

，
∵m＞0，∴m=

1

2

，
代入（*）方程△＞0，故m=

1

2

．

点评：本题主要考查椭圆方程的求法和直线与圆锥曲线的综合问题．一般是直线与圆锥曲线的方程联立消去y，得到两根之和与两根之积的关系式，再结合题中所给条件解题．