Question

（本题满分13分)
设函数
若，求曲线处的切线方程；
讨论函数的单调性.

Answer 1

（1）.
（2）当时，函数在上单调递增；
当时，函数在上单调递减；
当时，在，上单调递减，
在上单调递增.

试题分析：（1）由题意知时，，求切线的斜率，即，又，由直线方程的点斜式进一步整理，得到切线方程为.
（2）函数的定义域为，
，根据的不同情况，讨论导函数值的正负，以确定函数的单调性.其中时，情况较为单一，，函数在上单调递增，
当时，令，
由于，再分，，等情况加以讨论.
试题解析：（1）由题意知时，，
此时，
可得，又，
所以曲线在处的切线方程为.
（2）函数的定义域为，
，
当时，，函数在上单调递增，
当时，令，
由于，
当时，，
，函数在上单调递减，
当时，，
，函数在上单调递减，
当时，，
设是函数的两个零点，
则，，
由 ，
所以时，，函数单调递减，
时，，函数单调递增，
时，，函数单调递减，
综上可知，当时，函数在上单调递增；
当时，函数在上单调递减；
当时，在，上单调递减，
在上单调递增.