Question

已知双曲线

x2

a2

-

x2

b2

=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，过F且斜率为

3

的直线l与右准线的交点P在该双曲线的渐近线上，则此双曲线的两条渐近线的夹角为

60°

．

Answer 1

分析：设双曲线右焦点坐标为（c，0），由双曲线的几何性质可得其右准线方程为x=

a2

c

①，渐近线方程为y=±

b

a

x，根据题意，可得直线l的方程为y=

3

（x-c）②，将①②联立，解可得p的坐标，又由p在双曲线的渐近线上，则-

3 b2

c

=-

b

a

×

a2

c

，变形可得

b

a

=

3

3

，可得渐近线的倾斜角为30°，进而可得答案．

解答：解：设双曲线右焦点坐标为（c，0），则双曲线右准线方程为x=

a2

c

①，渐近线方程为y=±

b

a

x，
过点F且斜率为

3

的直线l的方程为y=

3

（x-c）②，
①②联立可得，

x= a2 c y=- 3 b2 c

，
即p的坐标为（

a2

c

，-

3 b2

c

），P在准线上，
有-

3 b2

c

=-

b

a

×

a2

c

，解可得

b

a

=

3

3

，
则渐近线的倾斜角为30°，
此双曲线的两条渐近线的夹角为60°，
故答案为60°．

点评：本题考查双曲线的简单几何性质，解题的关键要熟悉双曲线的常见性质，如准线方程、渐进线方程等．