Question

17．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x-2，x＞0}\\{-{x}^{2}+bx+c，x≤0}\end{array}\right.$满足f（0）=1，且f（0）+2f（-1）=0，求函数g（x）=f（x）+x的零点个数．

Answer 1

分析 由f（0）=c=1，f（0）+2f（-1）=c+2（-1-b+c）=0可解得c=1，b=$\frac{1}{2}$；从而化简g（x）=f（x）+x=$\left\{\begin{array}{l}{2x-2，x＞0}\\{-{x}^{2}+\frac{3}{2}x+1，x≤0}\end{array}\right.$；再转化为方程的根即可．

解答 解：∵f（0）=c=1，f（0）+2f（-1）=c+2（-1-b+c）=0，
∴c=1，b=$\frac{1}{2}$；
故f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x-2，x＞0}\\{-{x}^{2}+\frac{1}{2}x+1，x≤0}\end{array}\right.$，
故g（x）=f（x）+x=$\left\{\begin{array}{l}{2x-2，x＞0}\\{-{x}^{2}+\frac{3}{2}x+1，x≤0}\end{array}\right.$；
当x＞0时，令2x-2=0得x=1；
当x≤0时，令-x²+$\frac{3}{2}$x+1=0得，
x=2（舍去）或x=-$\frac{1}{2}$；
故函数g（x）=f（x）+x有两个零点．

点评 本题考查了分段函数的化简与应用，同时考查了二次函数与二次方程的性质应用及分类讨论的思想应用，属于中档题．