Question

3．已知抛物线$Γ：{y^2}=4\sqrt{3}x$的焦点F₁与椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的一个焦点重合，Γ的准线与x轴的交点为F₁，若Γ与C的交点为A，B，且点A到点F₁，F₂的距离之和为4．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若不过原点且斜率存在的直线l交椭圆C于点G，H，且△OGH的面积为1，线段GH的中点为P．在x轴上是否存在关于原点对称的两个定点M，N，使得直线PM，PN的斜率之积为定值？若存在，求出两定点M，N的坐标和定值的大小；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由抛物线方程，求得c=$\sqrt{3}$，根据椭圆的定义，求得2a=4，即可求得a，则b²=a²-c²=4-3=1，即可求得椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线l的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及弦长公式求得丨GH丨，再由点到直线的距离公式及三角形的面积公式求得△OGH的面积，求得1+4k²-2m²=0，根据中点坐标公式及直线的斜率公式求得s和t的值，使得直线PM，PN的斜率之积为定值．

解答 解：（Ⅰ）由抛物线$Γ：{y^2}=4\sqrt{3}x$的焦点${F_1}（{\sqrt{3}，0}）$与椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的一个焦点重合，
则$c=\sqrt{3}$．
又∵抛物线Γ的准线与x轴的交点为F₁（$\sqrt{3}$，0），且点A到点F₁，F₂的距离之和为4，根据椭圆上的定义知2a=4，
解得a=2．则b²=a²-c²=4-3=1．
∴椭圆C的方程为$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$．
（Ⅱ）设直线l：y=kx+m（m≠0），G（x₁，y₁），H（x₂，y₂），
联立$\left\{{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{x^2}{4}+{y^2}=1}\end{array}}\right.$，得（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0，
由判别式和根与系数间的关系知△=（8km）²-4（1+4k²）（4m²-4）=16（4k²+1-m²）＞0，
${x_1}+{x_2}=-\frac{8km}{{1+4{k^2}}}，{x_1}{x_2}=\frac{{4{m^2}-4}}{{1+4{k^2}}}$，根据弦长公式知丨GH丨=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•丨x₁-x₂丨=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{4\sqrt{1+{k}^{2}}\sqrt{4{k}^{2}+1-{m}^{2}}}{1+4{k}^{2}}$，
又根据点到直线的距离公式知原点O到直线y=kx+m的距离为$d=\frac{|m|}{{\sqrt{1+4{k^2}}}}$
于是△OGH的面积为$S=\frac{1}{2}•|{GH}|•\frac{|m|}{{\sqrt{1+4{k^2}}}}=\frac{{2|m|•\sqrt{4{k^2}+1-{m^2}}}}{{1+4{k^2}}}=1$．整理得（1+4k²-2m²）²=0，
∴1+4k²-2m²=0①
又线段GH的中点$P（{-\frac{4km}{{1+4{k^2}}}，\frac{m}{{1+4{k^2}}}}）$，即$P（{-\frac{2k}{m}，\frac{1}{2m}}）$．
假设存在满足条件的定点M，N，不妨设M（s，0），N（-s，0）（s＞0），直线PM，PN的斜率之积为t，
则有$t={k_{PM}}•{k_{PN}}=\frac{{\frac{1}{2m}}}{{-\frac{2k}{m}-s}}×\frac{{\frac{1}{2m}}}{{-\frac{2k}{m}+s}}=\frac{1}{{4（{4{k^2}-{s^2}{m^2}}）}}$．整理得$4{k^2}-{s^2}{m^2}=\frac{1}{4t}$②．
将①代入②，得$（{2-{s^2}}）{m^2}-（{1+\frac{1}{4t}}）=0$．
由直线l的任意性可得$\left\{{\begin{array}{l}{2-{s^2}=0}\\{1+\frac{1}{4t}=0}\end{array}}\right.$，解得$\left\{{\begin{array}{l}{s=\sqrt{2}}\\{t=-\frac{1}{4}}\end{array}}\right.$．
于是存在两定点$M（{-\sqrt{2}，0}），N（{\sqrt{2}，0}）$，使得直线PM，PN的斜率之积为定值，定值为$-\frac{1}{4}$．

点评 本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式及直线的斜率公式的综合应用，考查计算能力，属于中档题．