题目内容
11．在平行四边形ABCD中，满足$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AD}$=${\overrightarrow{AB}}^{2}$，2${\overrightarrow{AB}}^{2}$=4-${\overrightarrow{BD}}^{2}$，若将其沿BD折成直二面角A-BD-C，则三棱锥A-BCD的外接球的表面积为（ ）| A． | 16π | B． | 8π | C． | 4π | D． | 2π |
分析 由已知中$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AD}$=${\overrightarrow{AB}}^{2}$，可得AB⊥BD，沿BD折起后，由平面ABD⊥平面BDC，可得三棱锥A-BCD的外接球的直径为AC，进而根据2${\overrightarrow{AB}}^{2}$=4-${\overrightarrow{BD}}^{2}$，求出三棱锥A-BCD的外接球的半径，可得三棱锥A-BCD的外接球的表面积．
解答 
解：平行四边形ABCD中，
∵$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AD}$=${\overrightarrow{AB}}^{2}$，
∴$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BD}$=0，
∴AB⊥BD，
沿BD折成直二面角A-BD-C，
∵平面ABD⊥平面BDC
三棱锥A-BCD的外接球的直径为AC，
∴AC2=AB2+BD2+CD2=2AB2+BD2=4
∴外接球的半径为1，
故表面积是4π．
故选C．
点评 本题考查的知识点是球内接多面体，平面向量数量积的运算，其中根据已知求出三棱锥A-BCD的外接球的半径是解答的关键．
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