Question

数列{an}满足a1=

2

，an+1=

1+an

1-an

，则{an}的前80项的和等于______．

Answer 1

对于函数y=f（x），由f(x+1)=

1+f(x)

1-f(x)

，
则f(x+2)=

1+f(x+1)

1-f(x+1)

=

1+ 1+f(x) 1-f(x)

1- 1+f(x) 1-f(x)

=-

1

f(x)

，
f(x+3)=

1+f(x+2)

1-f(x+2)

=

1- 1 f(x)

1+ 1 f(x)

=

f(x)-1

f(x)+1

，
F(x+4)=

1+f(x+3)

1-f(x+3)

=

1+ f(x)-1 f(x)+1

1- f(x)-1 f(x)+1

=f(x)．
∴f（x）是周期为4的周期函数，
由an+1=

1+an

1-an

，则数列{a_n}的项以4为周期周期出现，
由a₁=2，则a2=

1+ 2

1- 2

=-3-2

2

，
a3=

1-3-2 2

1+3+2 2

=-

2

2

，
a4=

1- 2 2

1+ 2 2

=3-2

2

．
∴S₈₀=20（a₁+a₂+a₃+a₄）=20(

2

-3-2

2

-

2

2

+3-2

2

)=-70

2

．
故答案为-70

2

．