Question

18．已知正三棱锥的高为1，底面边长为2$\sqrt{6}$，求这个正三棱锥的体积和表面积．

Answer 1

分析 求出底面正三角形的面积，利用棱锥的体积公式求解体积，求出正三棱锥的底面面积与侧面积，即可求出全面积．

解答 解：正三棱锥的高为1，底面边长为2$\sqrt{6}$，底面面积为：$\frac{\sqrt{3}}{4}{×（2\sqrt{6}）}^{2}$=6$\sqrt{3}$．
V=$\frac{1}{3}×6\sqrt{3}×1$=2$\sqrt{3}$π
底面正三角形中心到一边的距离为$\frac{1}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$×2$\sqrt{6}$=$\sqrt{2}$，
则正棱锥侧面的斜高为$\sqrt{12+（\sqrt{2}）2}$=$\sqrt{3}$．
∴S_侧=3×$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{6}$×$\sqrt{3}$=9$\sqrt{2}$．
∴S_表=S_侧+S_底=9$\sqrt{2}$+$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$×（2$\sqrt{6}$）²
=9$\sqrt{2}$+6$\sqrt{3}$．

点评 本题考查正三棱锥的体积与全面积的求法，考查计算能力．