Question

18．已知f（x）=2+log₂x（1≤x≤8），判断函数g（x）=f²（x）+f（2^x）有无零点？若有零点，求出零点；若无零点，则说明理由．

Answer 1

分析 根据对数函数和指数函数的图象和性质，可得函数g（x）=f²（x）+f（2^x）为增函数，且值域为[7，35]，进而得到答案．

解答 解：∵f（x）=2+log₂x（1≤x≤8）为增函数，且值域为[2，5]，
∴y=f²（x）为增函数，且值域为[4，25]，
又∵f（2^x）=2+x，1≤x≤8为增函数，且值域为[3，10]，
∴函数g（x）=f²（x）+f（2^x）为增函数，且值域为[7，35]，
故函数g（x）=f²（x）+f（2^x）无零点．

点评 本题考查的知识点是函数零点的判定定理，分析出函数的单调性和值域，是解答的关键．