Question

9．已知抛物线C₁的焦点与椭圆C₂：$\frac{{x}^{2}}{6}$+$\frac{{y}^{2}}{5}$=1的右焦点重合，抛物线C₁的顶点在坐标原点，过点M（4，0）的直线l与抛物线C₁分别相交于A、B两点．
（Ⅰ）写出抛物线C₁的标准方程；
（Ⅱ）求△ABO面积的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求得椭圆的右焦点，可得抛物线的p=2，进而得到抛物线的方程；
（Ⅱ）设直线AB的方程为x=my+4，代入抛物线方程，运用韦达定理，由△ABO面积为S=S_△OAM+S_△OBM=$\frac{1}{2}$•|OM|•|y₁-y₂|，代入韦达定理，化简由不等式的性质，即可得到最小值．

解答 解：（Ⅰ）椭圆C₂：$\frac{{x}^{2}}{6}$+$\frac{{y}^{2}}{5}$=1的右焦点为（1，0），
设抛物线的方程为y²=2px（p＞0），
即有$\frac{p}{2}$=1，解得p=2，
则抛物线的方程为y²=4x；
（Ⅱ）设直线AB的方程为x=my+4，
代入抛物线方程可得，
y²-4my-16=0，
判别式为16m²+64＞0恒成立，
y₁+y₂=4m，y₁y₂=-16，
则△ABO面积为S=S_△OAM+S_△OBM=$\frac{1}{2}$•|OM|•|y₁-y₂|
=2|y₁-y₂|=2$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$
=2$\sqrt{16{m}^{2}+64}$≥2$\sqrt{64}$=16，
当且仅当m=0时，△ABO的面积取得最小值16．

点评 本题考查椭圆和抛物线的方程和性质，考查直线和抛物线的方程的联立，运用韦达定理，同时考查三角形的面积的最值的求法，注意运用不等式的性质，属于中档题．