Question

10．设函数f（x）=|x-2|-|2x+l|．
（I）求不等式f（x）≤x的解集；
（II ）若不等式f（x）≥t²-t在x∈[-2，-1]时恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据绝对值的几何运用，分类讨论，求得f（x）≤x的解集．
（Ⅱ）x∈[-2，-1]时，f（x）=x+3，最小值为1，再根据t²-t≤1，求得实数t的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）x≤-$\frac{1}{2}$时，x+3≤x，不成立；
-$\frac{1}{2}$＜x＜2时，-3x+1≤x，解得x≥$\frac{1}{4}$，∴$\frac{1}{4}$≤x＜2；
x≥2时，-x-3≤x，∴x≥-$\frac{3}{2}$，∴x≥2，
综上所述，不等式f（x）≤x的解集为[$\frac{1}{4}$，+∞）；
（II ）x∈[-2，-1]时，f（x）=x+3，最小值为1．
∵不等式f（x）≥t²-t在x∈[-2，-1]时恒成立，
∴t²-t≤1，
∴$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$≤t≤$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$．

点评 本题考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．