Question

如图，四边形ABCD为菱形，ACFE为平行四边形，且面ACFE⊥面ABCD，AB=BD=2，AE=

3

，设BD与AC相交于点G，H为FG的中点．
（Ⅰ）证明：CH⊥面BFE；
（Ⅱ）若AE与面ABCD所成的角为60°，求二面角B-EF-D的平面角余弦值的大小．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的判定,二面角的平面角及求法

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）充分利用已知得到BD⊥平面ACFE，利用线面垂直的性质得到BD⊥CH，由等腰三角形的三线合一得到CH⊥FG，利用线面垂直的判定定理可证；
（Ⅱ）由平面ACFE⊥平面ABCD，得到∠EAC为AE与平面ABCD所成的角，进一步得到∠BMD为二面角B-EF-D的平面角，然后计算可得．

解答： （Ⅰ）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC又∵平面ACFE⊥平面ABCD，
∴BD⊥平面ACFE，∴BD⊥CH，
又∵H为FG的中点，CG=CF=

3

∴CH⊥FG又∵FG∩BD=G，
∴CH⊥平面BFD；
（Ⅱ）解：∵平面ACFE⊥平面ABCD，
∴E在平面ABCD内的射影落在AC上，
则∠EAC为AE与平面ABCD所成的角，∠EAC=60°，
过G作EF的垂线，垂足为M，连接MB，MD，MG，如图

由（Ⅰ）得AC⊥平面BMD，∴EF⊥平面BMD，
∴∠BMD为二面角B-EF-D的平面角，
MG=

3

2

，BD=2，BG=1，BM=DM=

13

2

，
所以由余弦定理可得cos∠DMB=

5

13

．

点评：本题考查了线面垂直的判定定理的运用以及空间角的求法，关键是将空间角转化为平面角的问题解答，属于中档题