Question

P(1,1)为椭圆＋＝1内的一定点，过P点引一弦，与椭圆相交于A、B两点，且P恰好为弦AB的中点，如图所示，求弦AB所在的直线方程及弦AB的长度．

Answer 1

设弦AB所在的直线方程为

y－1＝k(x－1)，A、B两点坐标分别为

(x₁，y₁)，(x₂，y₂)，则

x＋2y＝4，①　x＋2y＝4.②

①－②得：

(x₁＋x₂)(x₁－x₂)＋2(y₁＋y₂)(y₁－y₂)＝0.

∵P(1,1)为弦AB的中点，∴x₁＋x₂＝2，y₁＋y₂＝2.

∴k＝＝－.

∴所求直线的方程为y－1＝－(x－1)．

即x＋2y－3＝0.

将其代入椭圆方程整理得，6y²－12y＋5＝0.

根据弦长公式，有

|AB|＝＝.