Question

已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构在的三角形的面积为.

(1)求椭圆C的方程；

(2)已知动直线y＝k(x＋1)与椭圆C相交于A、B两点．

①若线段AB中点的横坐标为－，求斜率k的值；

②若点M(－，0)，求证：为定值．

Answer 1

 (1)椭圆＋＝1(a>b>0)满足a²＝b²＋c²，＝，×b×2c＝，解得a²＝5，b²＝，则椭圆方程为＝1.

(2)①将y＝k(x＋1)代入＝1中得，

(1＋3k²)x²＋6k²x＋3k²－5＝0，

Δ＝36k⁴－4(3k²＋1)(3k²－5)＝48k²＋20>0，

x₁＋x₂＝－.

因为AB中点的横坐标为－，所以－＝－，解得k＝±.

②证明：由①知x₁＋x₂＝

＝＋＋k²＝.

∴为定值．