Question

3．已知直线y=x与函数g（x）=$\frac{4}{x}$（x＞0）的图象交于点M，若点P，Q分别是直线y=x与函数g（x）=$\frac{4}{x}$（x＞0）的图象上异于M的两点，且对任意点Q，PQ≥PM恒成立，则点P的横坐标的取值范围是（-∞，0]．

Answer 1

分析 求出M（2，2），设P（a，a），Q（x，$\frac{4}{x}$），根据PQ≥PM恒成立列出恒等式，利用基本不等式的性质讨论a，得出a的取值范围．

解答 解：解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y=\frac{4}{x}}\\{x＞0}\end{array}\right.$得M（2，2）．
设P（a，a），Q（x，$\frac{4}{x}$）．则PQ=$\sqrt{（x-a）^{2}+（\frac{4}{x}-a）^{2}}$，PM=$\sqrt{2（a-2）^{2}}$．
∴（x-a）²+（$\frac{4}{x}-a$）²≥2（a-2）²恒成立，
整理得：x²+$\frac{16}{{x}^{2}}$-2ax-$\frac{8a}{x}$≥8-8a恒成立．
∵x²+$\frac{16}{{x}^{2}}$$≥2\sqrt{16}=8$，
∴2ax+$\frac{8a}{x}$≤8a恒成立．
显然a=0时，上时恒成立．
若a＞0，则2ax+$\frac{8a}{x}$≤8a恒成立?2x+$\frac{8}{x}$≤8恒成立，与2x+$\frac{8}{x}$≥2$\sqrt{2x•\frac{8}{x}}$=8矛盾．
若a＜0，则2ax+$\frac{8a}{x}$≤8a恒成立?2x+$\frac{8}{x}$≥8恒成立，而2x+$\frac{8}{x}$≥2$\sqrt{2x•\frac{8}{x}}$=8恒成立．
∴a≤0．
故答案为（-∞，0]．

点评 本题考查了利用基本不等式解决恒成立问题，距离公式，属于中档题．