已知函数f}{{2}^{x}+{2}^{2-x}}$.给出下面四个命题:①函数f(x)的图象一定关于某条直线对称,②函数f(x)在R上是周期函数,③函数f(x)的最大值为$\frac{1}{4}$,④对任意两个不相等的实数${x 1}.{x 2}∈$.都有$\frac{{f}}{{{x 1}-{x 2}}}＞\frac{1}{10}$成立．其中所有真命题的序号是� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

4．已知函数f（x）=$\frac{cos（πx-π）}{{2}^{x}+{2}^{2-x}}$（x∈R），给出下面四个命题：
①函数f（x）的图象一定关于某条直线对称；
②函数f（x）在R上是周期函数；
③函数f（x）的最大值为$\frac{1}{4}$；
④对任意两个不相等的实数${x_1}，{x_2}∈（0，\;\;\frac{3}{2}）$，都有$\frac{{f（{x_1}）-f（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}＞\frac{1}{10}$成立．
其中所有真命题的序号是①③．

分析利用诱导公式化简函数解析式，由f（2-x）=f（x）说明①正确；函数f（x）的定义域是R，且其图象有对称轴，由函数解析式可以得出，其图象周期性穿过X轴，由于分母不断增大，图象往两边延伸都无限靠近于X轴，说明函数不是周期函数，②错误；由函数解析式抽象出函数图象的大致形状，说明③正确，④错误．

解答解：f（x）=$\frac{cos（πx-π）}{{2}^{x}+{2}^{2-x}}$=$\frac{-cosπx}{{2}^{x}+{2}^{2-x}}$．
∵f（2-x）=$\frac{-cosπ（2-x）}{{2}^{2-x}+{2}^{x}}=\frac{-cosπx}{{2}^{x}+{2}^{2-x}}=f（x）$，∴函数f（x）的图象一定关于直线x=1对称，故①正确；
当x→+∞时，2^x+2^2-x→+∞，则f（x）→0，∴函数f（x）在R上不是周期函数，故②错误；
由①知，函数f（x）关于直线x=1对称，且当x＞1时，随着x的增大，其图象大致形状如图：

函数f（x）的最大值为$\frac{1}{4}$，故③正确；
由图可知，在x=1右侧附近，连接曲线上两点的斜率小于0，故④错误．
∴所有真命题的序号是①③．
故答案为：①③．