题目内容
【题目】已知函数
.
（1）求函数
的图象在点
处的切线方程；
（2）求函数
的单调区间；
（3）若
，且方程
有两个不相等的实数根
，求证： 
.
【答案】(1) 
(2) 
得单增区间为
， 
无减区间
（3）见解析.
【解析】试题分析：（1）求出函数
的导数，它是切线的斜率，而切点为
，因此切线方程为： 
.（2）函数的定义域为
，而
，构建新函数
，可以证明在
上， 
，因此函数的单调增区间为： 
， 
，无减区间.（3）化简得到
，其导数为
，通过导数的符号讨论可以得到： 
在
上单减函数，在
上单增函数，构造新函数
，可以证明当
，总有
，从而有
，最后根据
的单调性得
也就是
.
解析:（1）因为
，所以切点为
.因为
，所以切线的斜率为
,所以，所求的切线方程为
即
.
（2）
的定义域为
，由（1) 知
，记
，则
，
当
时， 
， 
在
上是减函数；当
时， 
， 
在
上是增函数.
所以
在
上的最小值为
，所以
恒成立，所以
的单增区间为
， 
，无减区间.
（3）
， 
，
当
， 
在
上单减函数；
当
时， 
， 
在
上单增函数.
又当
时， 
，当
时， 
，所以可设
构造函数
，则
当
时， 
，则
， 
在
上单调递减，又
，
所以
，由
，得
，
所以
，又
， 
在
上单调递増，所以
，即
，故
.
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