Question

12．在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=4，点D在棱BB₁上，若BD=3，则AD与平面AA₁C₁C所成角的正弦值为（　　）

• A． $\frac{2\sqrt{3}}{5}$
• B． $\frac{2\sqrt{39}}{13}$
• C． $\frac{4}{5}$
• D． $\frac{3}{5}$

Answer 1

分析 过B作BF⊥AC，过B₁作B₁E⊥A₁C₁，连接EF，过D作DG⊥EF，连接AG，在正三棱柱中，有B₁E⊥AA₁C₁C，BF⊥面AA₁C₁C，故DG⊥面AA₁C₁C，连接GA，那么∠GAD是AD与平面AA₁C₁C所成角．求三角形GAD各边的长度，利于余弦定理求解．

解答 解：由题意：ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱，过B作BF⊥AC，交点为F，过B₁作B₁E⊥A₁C₁，交点为E，连接EF，过D作DG⊥EF，交点为G，连接AG，在正三棱柱中，有B₁E⊥AA₁C₁C，BF⊥面AA₁C₁C，故DG⊥面AA₁C₁C，
那么∠GAD是AD与平面AA₁C₁C所成角．
在三角形GAD中，DG=2$\sqrt{3}$，GA=$\sqrt{13}$，AD=5．
cos∠GAD=$\frac{A{G}^{2}+A{D}^{2}-D{G}^{2}}{2AG•AD}$=$\frac{\sqrt{13}}{5}$，
那么：cos∠GAD=$\sqrt{1-co{s}^{2}∠GAD}$=$\frac{2\sqrt{3}}{5}$，
故选：A．

点评 本题考了线面角的证明及计算，利于到余弦定理来求解．属于基础题．