Question

如果数列满足：且，则称数列为阶“归化数列”．
（1）若某4阶“归化数列”是等比数列，写出该数列的各项；
（2）若某11阶“归化数列”是等差数列，求该数列的通项公式；
（3）若为n阶“归化数列”，求证：．

Answer 1

（1）或；（2）或；（3）证明见解析.

试题分析：（1）等比数列是4阶“归化数列”，则有，这样，于是，从而，，以后各项依次可写出；（2）等差数列是11阶“归化数列”，则，，这样有，知当时，，当时，，由此可得的通项公式分别为或；（3）对阶“归化数列”，从已知上我们只能知道在中有正有负，因此为了求，我们可以设是正的，是负的，这样，，
证毕．
（1）设成公比为的等比数列，显然，则由，
得，解得，由得，解得，
所以数列或为所求四阶“归化数列”；           4分
（2）设等差数列的公差为，由，
所以，所以，即，               6分
当时，与归化数列的条件相矛盾，
当时，由，所以，
所以                   8分
当时，由，所以，
所以（n∈N^*，n≤11），
所以（n∈N^*，n≤11），                   10分
（3）由已知可知，必有a_i>0，也必有a_j<0(i，j∈{1，2， ，n，且i≠j)．
设为诸a_i中所有大于0的数，为诸a_i中所有小于0的数．
由已知得X=++ +=，Y= + + +=－．
所以．     16分项和公式，不等式的放缩法．