Question

已知△ABC的面积为1，BC=2．设∠A=θ．
（Ⅰ）求θ的取值范围；
（Ⅱ）求函数f(θ)=2sin2(

x

4

+θ)-

3

cos2θ的值域．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设角A，B，C的对边分别为a，b，c，由△ABC的面积为1，∠A=θ可求得bc（与θ的关系），利用余弦定理与基本不等式可求得cosθ≥0，从而可得θ的取值范围；
（Ⅱ）利用二倍角公式可求得f（θ）=1+2sin（2θ-

π

3

），从而可求得θ∈（0，

π

2

]时f（θ）的值域．

解答：解：（Ⅰ）设角A，B，C的对边分别为a，b，c，由已知得：

1

2

bcsinθ=1⇒bc=

2

sinθ

，θ∈（0，π）…2分
又2²=a²=b²+c²-2bccosθ≥2bc-2bccosθ=

4-4cosθ

sinθ

，
∴sinθ+cosθ≥1?sinθcosθ≥0?cosθ≥0，
故θ∈（0，

π

2

]；…6分
（Ⅱ）f（θ）=1-cos（

π

2

+2θ）-

3

cos2θ=1+sin2θ-

3

cos2θ=1+2sin（2θ-

π

3

），…10分
∵θ∈（0，

π

2

]，
∴2θ-

π

3

∈（-

π

3

，

2π

3

]，
∴f（θ）∈（1-

3

，3]…12分

点评：本题考查三角形的面积公式，考查余弦定理与基本不等式，考查两角和与差的正弦及正弦函数的性质，属于中档题．