Question

如图，ABCD是正方形，O是该正方形的中心，P是平面ABCD外一点，PO⊥底面ABCD，E是PC的中点．求证：
（1）PA∥平面BDE；
（2）BD⊥平面PAC；
（3）若PA=AB=2，求二面角E-BD-C的大小．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面平行的判定,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）连接OE，由已知得OE∥AP，由此能证明PA∥平面BDE．
（2）由线面垂直得PO⊥BD，由正方形性质得BD⊥AC，由此能证明BD⊥平面PAC．
（3）以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，求出平面BDE的法向量和平面BDC的法向量，由此能求出二面角E-BD-C的大小．

解答： （1）证明：如图所示，连接OE，
∵O是正方形ABCD的中心，∴OC=OA，
∵E是PC的中点，∴CE=EP，
∴OE∥AP，
∵PA?平面BDE，OE?平面BDE，
∴PA∥平面BDE．
（2）证明：∵PO⊥底面ABCD，∴PO⊥BD．
由正方形可得：BD⊥AC，
又PO∩AC=O，∴BD⊥平面PAC．
（3）解：以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，
建立空间直角坐标系，
∵PA=AB=2，∴B（0，

2

，0），D（0，-

2

，0），
C（-

2

，0，0），P（0，0，

2

），E（-

2

2

，0，

2

2

），

BD

=（0，2

2

，0），

BE

=（-

2

2

，-

2

，

2

2

），
设平面BDE的法向量

n

=（x，y，z），
则

n • BD =2 2 x=0 n • BE =- 2 2 x- 2 y+ 2 2 z=0

，
取y=1，得

n

=（0，1，2），
又平面BDC的法向量

m

=（0，0，1），
设二面角E-BD-C的平面角为θ，
cosθ=|

n • m

| n |•| m |

|=

1

5

=

5

5

．
∴二面角E-BD-C的大小为arccos

5

5

．

点评：本题主要考查直线与平面之间的平行、垂直等位置关系，线面直行、线面垂直、二面角的概念、求法等知识，以及空间想象能力和逻辑推理能力．