Question

（本小题满分14分）已知函数

（1）求函数的最大值；

（2）设 其中，证明: ＜1．

Answer 1

（1）0； （2）详见解析．

【解析】

试题分析：（1）由 得： 然后利用导数研究函数的单调性并求其最大值；（2）由（1）的结果知，当时，；当时，，可构造函数证明结论成立．

试题解析：【解析】
（1） 2分

当时，f?(x)＞0，f(x)单调递增； 4分

当时，f?(x)＜0，f(x)单调递减． 6分

		0
	＋	0	－
	↗	极大值	↘

所以f(x)的最大值为f(0)＝0． 7分

（2）由（1）知，当时， 9分

当时，等价于

设，则．

当时，则

从而当时，，在单调递减． 12分

当时，

即，

故g(x)＜1．

综上，总有g(x)＜1． 14分

考点：1、导数在研究函数性质中的应用；2、函数的思想在证明不等式中的应用．