Question

已知f（x）=2^x-

1

2x

+1．
（1）证明函数在R上是增函数；
（2 ）求g（x）=

x

f(x)

的奇偶性．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明,函数奇偶性的判断

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（1）求f′（x），根据其符号即可证出f（x）为R上的增函数；
（2）求出g（x）=

x•2x

22x+2x-1

，通过换元：令2^x=t，t＞0，求出使2^2x+2^x-1=0的x，并且可以说明该方程只有一个解x₀≠0，从而可看出g（x）的定义域不关于原点对称，所以判断出该函数为非奇非偶函数．

解答： 解：（1）证明：f′（x）=2xln2+

ln2

2x

＞0；
∴f（x）在R上是增函数；
（2）g（x）=

x•2x

22x+2x-1

；
若设2^x=t，（t＞0），h（t）=t²+t-1，t＞0；
h（t）的对称轴为t=-

1

2

，所以在（0，+∞）上单调递增；
∴h（t）∈（-1，+∞）；
∴存在唯一的t₀＞0，使h（t₀）=0，且t₀≠1；
∴存在唯一的x₀∈R，使2^2x+2^x-1=0，且x₀≠0；
∴g（x）的定义域为{x|x≠x₀}；
显然定义域不关于原点对称；
∴g（x）为非奇非偶函数．

点评：考查根据函数导数符号证明函数单调性的方法，以及换元的方法，二次函数的单调性，指数函数的值域，以及奇偶函数定义域的特点．