Question

已知动圆P过点且与直线相切．
（Ⅰ） 求动圆圆心P的轨迹E的方程；
（Ⅱ） 设直线与轨迹E交于点A、B，M是线段AB的中点，过M作轴的垂线交轨迹E于N．
① 证明：轨迹E点N处的切线与AB平行；
② 是否存在实数，使？若存在，求的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

，故存在实数

解：（Ⅰ）依题意：E的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线方程
所以E的轨迹方程为：
（Ⅱ）设由得：
，

① 由得：
② 假设存在实数，使得，则
由轴知：
又
或（舍去）
故存在实数，使得