Question

【题目】已知函数

（Ⅰ）若，求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）若在上恒成立，求实数的取值范围；

（Ⅲ）若数列的前项和， ，求证：数列的前项和.

Answer 1

【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) ；(Ⅲ)证明见解析.

【解析】试题分析： 将，求出切线方程求导后讨论当时和时的单调性证明，求出实数的取值范围先求出、的通项公式，利用当时， 得，下面证明：

解析：（Ⅰ）因为，所以， ，切点为.

由，所以，所以曲线在处的切线方程为，即

（Ⅱ）由，令，

则（当且仅当取等号）.故在上为增函数.

①当时， ,故在上为增函数，

所以恒成立，故符合题意；

②当时，由于， ，根据零点存在定理，

必存在，使得，由于在上为增函数，

故当时， ,故在上为减函数，

所以当时， ,故在上不恒成立，所以不符合题意.综上所述，实数的取值范围为

（III）证明：由

由（Ⅱ）知当时， ，故当时， ，

故，故.下面证明：

因为

而，

所以， ，即：