Question

【题目】如图1.四边形是边长为10的菱形，其对角线，现将沿对角线折起，连接，形成如图2的四面体，则异面直线与所成角的大小为______.在图2中，设棱的中点为，的中点为，若四面体的外接球的球心在四面体的内部，则线段长度的取值范围为______.

Answer 1

【答案】

【解析】

连接、，利用线面垂直的判定定理可求异面直线与所成角的大小；先根据外接球的性质确定出四面体的外接球球心，利用勾股定理，求出和，进而求出，借助三角函数的取值范围以及，即可求出线段长度的取值范围.

连接、，四边形是菱形，为棱的中点，

所以，，

又，

则平面，

由平面，

则，即异面直线与所成角的大小为.

由四边形是边长为10的菱形，其对角线，

则，，

是的外心，在中线中，

设过点的直线平面，易知平面，

同理是的外心，在中线上，

设过点的直线平面，易知平面，

由对称性易知、的交点在直线上，

根据外接球的性质，点为四面体的外接球的球心，

，，

，解得，

令，根据题意可知，，且,

则平面，平面，则，

所以，，

，

，

又，，，

，即线段长度的取值范围为，

故答案为：；