Question

求证：cos(sinx)＞sin(cosx)

 

Answer 1

答案：
解析：

证法一：设y1=cos(sinx)，y2=sin(cosx)，其最小正周期为2π．在x∈[0，2π]讨论． 　　而sin(cosx)=sin[cos(π＋y)]=sin[－cosy]=－sin(cosy)＜0，∴cos(sinx)＞sin(cosx)． 　　 　　∴沿用①的结论，cos(siny)＞sin(cosy)，又知y=2π－x， 　　∴cos(siny)=cos[sin(2π－x)]=cos(sinx)，sin(cosy)=sin[cos(2π－y)]=sin(cosx)， 　　∴cos(sinx)＞sin(cosx)． 　 以上证法比较冗长，难免挂一漏万, 请看下面证法： 证法二： 　　欲证：cos(sinx)＞sin(cosx) 　　只证：cos(cosx)＞sin(sinx) 　　[证]：cos(cosx)－sin(sinx) 　　 　　 　　 　　即cos(cosx)－sin(sinx)＞0，∴cos(cosx)＞sin(sinx) 　　 　　 < 　　       即cos(sinx)＞sin(cosx)．