Question

要测量河对岸两地A，B之间的距离，在岸边选取相距100米的C，D两点，并测得∠ACB=75°，∠BCD=45°，∠ADC=30°，∠ADB=45°（A，B，C，D在同一平面内），求A，B之间的距离．

Answer 1

【答案】分析：首先在△ACD中，得出∠CAD=∠ADC=30°，得CD=100．然后在△BCD中由正弦定理得出BC的长，最后在△ABC中由余弦定理，算出AB²═5×100²，即可得到A，B之间的距离为100米．
解答：解：如图所示，在△ACD中，∠CAD=30°=∠ADC，
∴AC=CD=100．
∵在△BCD中，∠CBD=60°，
∴由正弦定理，得=，可得BC=100•=200sin75°．
在△ABC中，由余弦定理，得
AB²=AC²+BC²-2AC•BCcos∠ACB=（100）²+（200sin75°）²-2×100×200sin75°cos75°
=5×100²，
∴AB=100（米），即A，B之间的距离为100米．
点评：本题给出实际问题，求河对岸两点A、B间的距离，着重考查了利用正余弦定理解三角形及其实际应用等知识，属于中档题．