Question

10．如图，已知四棱锥P-ABCD，底面对角线AC，BD交于点O，$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}且\overrightarrow{AC}•（\overrightarrow{DC}-\overrightarrow{BC}）=0$，又知OA=4，OB=3，OP=4，OP⊥底面ABCD，设点M满足$\overrightarrow{PM}$=λ$\overrightarrow{MC}$（λ＞0）．
（1）当λ=$\frac{1}{2}$时，求直线PA与平面BDM所成角的正弦值；
（2）问线段PC上是否存在这样的点M，使二面角M-AB-C的大小为$\frac{π}{4}$，若存在求出λ的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）以O为坐标原点，建立坐标系O-ABP，求出相关点的坐标，平面BDM的法向量，利用空间数量积求解直线PA与平面BDM所成角的正弦值；
（2）求出平面ABC的一个法向量，设M（a，0，b），代入$\overrightarrow{PM}$=λ$\overrightarrow{MC}$，求得$\overrightarrow{MB}$=（$\frac{4λ}{1+λ}$，3，-$\frac{4}{1+λ}$），求出平面ABM的法向量，通过向量的数量积得到方程即可求出λ的值．

解答 解：∵$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}且\overrightarrow{AC}•（\overrightarrow{DC}-\overrightarrow{BC}）=0$，所以底面ABCD为菱形．--------------------------------（1分）
（1）以O为坐标原点，建立坐标系O-ABP，则A（4，0，0），B（0，3，0），C（-4，0，0），D（0，-3，0），P（0，0，4），所以$\overrightarrow{PA}$=（4，0，-4），$\overrightarrow{DB}$=（0，6，0），$\overrightarrow{AB}$=（-4，3，0）．
当$λ=\frac{1}{2}$时，得M（-$\frac{4}{3}$，0，$\frac{8}{3}$），
所以$\overrightarrow{MB}$=（$\frac{4}{3}$，3，-$\frac{8}{3}$），
设平面BDM的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），则$\left\{\begin{array}{l}{6y=0}\\{\frac{4}{3}x+3y-\frac{8}{3}z=0}\end{array}\right.$，得y=0，
令x=2，则z=1，所以平面BDM的一个法向量$\overrightarrow{n}$=（2，0，0），
所以cos＜$\overrightarrow{PA}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，即直线PA与平面BDM所成角的正弦值$\frac{\sqrt{10}}{10}$．-----（6分）
（2）易知平面ABC的一个法向量$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（0，0，1）．
设M（a，0，b），代入$\overrightarrow{PM}$=λ$\overrightarrow{MC}$，得（a，0，b-4）=λ（-4-a，0，-b），
解得a=-$\frac{4λ}{1+λ}$，b=$\frac{4}{1+λ}$，即M（-$\frac{4λ}{1+λ}$，0，$\frac{4}{1+λ}$），
所以$\overrightarrow{MB}$=（$\frac{4λ}{1+λ}$，3，-$\frac{4}{1+λ}$），
设平面ABM的法向量$\overrightarrow{{n}_{2}}$=（x，y，z），则$\left\{\begin{array}{l}{-4x+3y=0}\\{\frac{4λ}{1+λ}x+3y-\frac{4}{1+λ}z=0}\end{array}\right.$，
消去y，得（2λ+1）x=z，
令x=1，则z=2λ+1，y=$\frac{4}{3}$，
所以平面ABM的一个法向量$\overrightarrow{{n}_{2}}$=（1，$\frac{4}{3}$，2λ+1），
所以$\frac{\sqrt{2}}{2}=|\frac{2λ+1}{\sqrt{1+\frac{16}{9}+（2λ+1）^{2}}}$|，解得$λ=\frac{1}{3}$或-$\frac{4}{3}$，因为λ＞0，所以$λ=\frac{1}{3}$．-------（12分）

点评 本题考查线面角，考查面面角，考查向量知识的运用，正确求出平面的法向量是关键．