Question

1．二次函数f（x）满足f（x+1）-f（x）=2x，且f（0）=1，
（1）求f（x）的解析式；
（2）方程f（x）=$\frac{1}{2}$x+1+k 在（-1，1）上有实根，求k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）二次函数满足f（x+1）-f（x）=2x且f（0）=1，设其方程为y=ax²+bx+1，代入f（x+1）-f（x）=2x，整理后利用同一性求出系数，
（2）根据一元二次方程的根的分布规律即可解答．

解答 解：（1）由题意，设其方程为y=ax²+bx+1代入f（x+1）-f（x）=2x恒成立，整理得2ax+a+b=2x恒成立，
$\left\{\begin{array}{l}{2a=2}\\{a+b=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-1}\end{array}\right.$
故f（x）=x²-x+1；
（2）①方程$f（x）=\frac{1}{2}x+1+k$在（-1，1）上有两实根，
则$\left\{\begin{array}{l}{△≥0}\\{f（1）＞0}\\{f（-1）＞0}\\{-1＜-\frac{b}{2a}＜1}\end{array}\right.$⇒-$\frac{9}{16}$≤k≤$-\frac{1}{2}$；
②方程$f（x）=\frac{1}{2}x+1+k$在（-1，1）上有一实根，
则f（1）-f（-1）＜0或$\left\{\begin{array}{l}{f（1）=0}\\{f（-1）＞0}\end{array}\right.$得-$\frac{1}{2}$≤k≤$\frac{5}{2}$
综上；k∈[-$\frac{9}{16}$，$\frac{5}{2}$）．

点评 本题考查函数解析式的求解及常用方法，解题的关键是了解二次函数的解析式的结构利用待定系数法设出解析式，再代入所给的条件求出参数．