Question

已知点P（2cosα，2sinα）和Q（ a，0 ），O为坐标原点．当α∈（0，π）时．
（Ⅰ）若存在点P，使得OP⊥PQ，求实数a的取值范围；
（Ⅱ） 如果a=-1，求向量与的夹角θ的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）先求出，的坐标代入x₁x₂+y₁y₂=0即可求出实数a的取值范围；
（Ⅱ）把a=-1代入，的坐标，进一步求出两个向量的模及他们的数量积，然后代入公式cosθ=即可求解．
解答：解：（Ⅰ）=（2cosα，2sinα） =（a-2cosα，-2sinα），
由OP⊥PQ，得=0，
由α∈（0，π），得cosα=，
∴a＜-2或a＞2．（7分）
（Ⅱ）当a=-1时，，

当，即时，取等号．
又∵cosθ在θ∈（0，π）上是减函数，
∴．（8分）
点评：如果已知向量的坐标，求向量的夹角，我们可以分别求出两个向量的坐标，进一步求出两个向量的模及他们的数量积，然后代入公式cosθ=即可求解